Question

正项数列{a_n}的前项和S_n满足：S_n²-（n²+n）S_n-（n²+n+1）=0，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

n+1

(n+2)2an2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*且n≥2，都有  T_n-T₁＜

13

576

．

Answer 1

分析：（1）由S_n²-（n²+n）S_n-（n²+n+1）=0可求s_n，然后利用a₁=s₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可求a_n
（2）由b_n=

n+1

(n+2)2an2

=

n+1

4n2(n+2)2

=

1

16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，利用裂项求和可求T_n，利用放缩法即可证明．

解答：解：（1）由已知得[Sn-(n2+n+1)](Sn+1)=0．…（2分）
由于{a_n}是正项数列，
所以Sn＞0，Sn=n2+n+1．…（3分）
于是a₁=S₁=3，…（4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n．…（6分）
综上，数列{a_n}的通项an=

3，n=1 2n，n≥2

．…（7分）
（2）证明：当n≥2时，由bn=

n+1

(n+2)2 a 2 n

，
得bn=

n+1

4n2(n+2)2

=

1

16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]．…（9分）
T_n-T₁=b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=

1

16

[

1

22

-

1

42

+

1

32

-

1

52

+

1

42

-

1

62

+…+

1

(n-1)2

-

1

(n+1)2

+

1

n2

-

1

(n+2)2

]
=

1

16

×[

1

22

+

1

32

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]…（12分）
＜

1

16

×(

1

22

+

1

32

)=

13

576

．…（14分）

点评：本题主要考查了递推公式a₁=s₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用．