Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b=

3

，则a+c的最大值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．3
• C．2

  3

• D．9

Answer 1

分析：由等差中项的定义得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），利用诱导公式化简得cosB=

1

2

．根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合b=

3

化简得（a+c）²=3+3ac，再利用基本不等式加以计算，可得当a=c=

3

时，a+c的最大值为2

3

．

解答：解：∵在△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，即2bcosB=acosC+ccosA，
∴根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）．
又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB＞0
∴2sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=

1

2

，
根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∵b=

3

，∴a²+c²-ac=3，可得（a+c）²=3+3ac．
根据基本不等式，得ac≤[

1

2

(a+b)]2，
∴（a+c）²=3+3ac≤3+

3

4

（a+b）²，解之得（a+c）²≤12．
由此可得当且仅当a=c=

3

时，a+c的最大值为2

3

．
故选：C

点评：本题给出△ABC满足的边角关系式，在已知边b长的情况下求a+c的最大值，着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式与诱导公式、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．