Question

如图，已知双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2

，F₁、F₂分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且

MF1

•

MF2

=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁、P₂，交双曲线于P、Q，且

P1P

=2

PP2

，求|

PQ

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出焦点坐标，利用

MF1

•

MF2

=-1，结合离心率，求出a，c，b，即可求双曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程，求出直线交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁、P₂，结合

P1P

=2

PP2

，通过P在双曲线上，通过弦长公式求|

PQ

|的最小值．

解答：解：（1）设F₁（0，c），F₂（0，c）则M（

ab

c

，

a2

c

），由

MF1

•

MF2

=-1，
得(

ab

c

)2-(c- 

a2

c

)(c+ 

a2

c

)=a²-c²=-1；
∵e=

c

a

=

2

，
∴a=1，c=

2

，
所以双曲线C的方程为：y²-x²=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+b，交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁（-

b

1+k

，

b

1+k

），P₂（

b

1+k

，

b

1+k

）；
由

P1P

=2

PP2

可得P(

3kb+b

3(1-k2)

，

3b+bk

3(1-k2)

)
因为P在双曲线上，所以(

3kb+b

3(1-k2)

)2-(

3b+bk

3(1-k2)

)2=1，
所以8b²=9（1-k²），
联立得

y=kx+b y 2-x 2=1

即（k²-1）x²+2kbx+b²-1=0…（10分）
∴|

PQ

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]

=

1+k2

2(1-k2)

≥

2

2

．
当且仅当k=0时取等号．

点评：此题是难题．考查双曲线的定义和简单的几何性质，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交弦长的求法．体现了数形结合和转化的思想方法．