Question

14．已知函数f（x）=x²+2x+alnx，若f（x）在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是（-4，0）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点的a的范围，从而求出函数有极值的范围即可．

解答 解：函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值
?函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内单调，
?函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立，
由f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$≥0在（0，1）内恒成立，
?a≥（-2x-2x²）_max，x∈（0，1），即a≥0，
由f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$≤0在（0，1）内恒成立，
?a≤（-2x-2x²）_min，x∈（0，1），即a≤-4，
故f（x）在区间（0，1）上有极值，
则-4＜a＜0，
故答案为：（-4，0）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力．