Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣ax﹣4（a∈R）的两个零点为x1 ， x2 ， 设x1＜x2 ．
（1）当a＞0时，证明：﹣2＜x1＜0；
（2）若函数g（x）=x2﹣|f（x）|在区间（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令f（x）=0

解得：x1= ，x2= ．

∵ ＞ =a，∴ ＜0．

∵a＞0，∴ ＜ =a+4，

∴ ＞ =﹣2．

∴﹣2＜x1＜0．

（2）解：g（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣4|，∴g′（x）=2x﹣|2x﹣a|，

∵g（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均单调递增，

∴g′（x）＞0，即2x＞|2x﹣a|，（x＞2）．

当a=0时，显然不成立，

若a＞0，作出y=2x和y=|2x﹣a|的函数图象如图：

∴0＜ ，解得0＜a≤8．

若a＜0，作出y=2x和y=|2x﹣a|的函数图象如图：

有图象可知2x＜|2x﹣a|，故g′（x）＞0不成立，不符合题意．

综上，a的取值范围是（0，8]

【解析】（1）使用求根公式解出x1 ， 利用a的范围和不等式的性质得出；（2）求出g′（x），令g′（x）＞0，结合函数图象讨论a的范围，
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．