Question

（2013•大连一模）定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，则

b+2

a+1

的取值范围是（　　）

• A．[

  4

  5

  ，3]
• B．(0，

  4

  5

  ]∪[3，+∞)
• C．[

  4

  5

  ，5]
• D．(0，

  4

  5

  ]∪[5，+∞)

Answer 1

分析：根据y=f′（x）图象得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（-a-2b）≤3，得到-2≤-a-2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出

b+2

a+1

的取值范围．

解答：解：由y=f′（x）图象可知，当x=0时，f′（x）=0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又∵a，b为非负实数，
∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，
得到如图的阴影部分区域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域内的点与P（-1，-2）连线的斜率，
结合图形可知：k_PB是最小值，k_PA是最大值，
由斜率公式可得：k_PA=

1+2

0+1

=3，k_PB=

0+2

1.5+1

=

4

5

，
故

b+2

a+1

的取值范围为[

4

5

，3]
故选：A

点评：本题在给出函数的导数图象基础之上，求满足不等式组的

b+2

a+1

的取值范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．