Question

函数f(x)=

x2-x4

|x-2|-2

．给出函数f（x）下列性质：（1）函数的定义域和值域均为[-1，1]；（2）函数的图象关于原点成中心对称；（3）函数在定义域上单调递增；（4）∫Af(x)dx=0（其中A为函数的定义域）；（5）A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，则

2

＜|AB|≤2．请写出所有关于函数f（x）性质正确描述的序号

（2）（4）

．

Answer 1

分析：先求定义域，根据定义域化简函数解析式；根据函数单调性、奇偶性的定义判断单调性、奇偶性、研究长度；根据积分的几何意义求积分值．

解答：解：要使函数有意义，需满足

x2-x4≥0 |x-2|≠2

，
解得-1≤x≤1且x≠0，即函数的定义域为[-1，0）∪（0，1]，
故（1）不正确．
根据函数的定义域可将函数解析式化简为f(x)=

x2-x4

2-x-2

=-

x2-x4

x

，
所以f(-x)=

x2-x4

x

=-f（x），即函数是奇函数，所以其图象关于原点对称；∫Af(x)dx=0（其中A为函数的定义域），
故（2）（4）正确．
因为函数的定义域是间断的，
故（3）的说法是错误的．
由于A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，所以|AB|＞0，而不是|AB|＞

2

，
故（5）的说法是错误的．
所以答案为（2）（4）．

点评：解决本题的关键是求出定义域后化简解析式，要是直接研究其性质会很麻烦．