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已知点P为圆x2+y2=4上的动点,且P不在x轴上,PD⊥x轴,垂足为D,线段PD中点Q的轨迹为曲线C,过定点M(t,0)(0<t<2)任作一条与y轴不垂直的直线l,它与曲线C交于A、B两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)试证明:在x轴上存在定点N,使得∠ANB总能被x轴平分.
(1)设Q(x,y)为曲线C上的任意一点,则点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,
∴x2+4y2=4,曲线C的方程为
x2
4
+y2=1(y≠0)
.(2分)
(2)设点N的坐标为(n,0),直线l的方程为x=sy+t,(3分)
代入曲线C的方程
x2
4
+y2=1
,可得(s2+4)y2+2tsy+t2-4=0,(5分)
∵0<t<2,∴△=(2ts)2-4(s2+4)(t2-4)=16(s2+4-t2)>0,
∴直线l与曲线C总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论)(6分)
设点A,B的坐标分别(x1,y1),(x2,y2),
y1+y2=
-2ts
s2+4
y1y2=
t2-4
s2+4

要使∠ANB被x轴平分,只要kAN+kBN=0,(9分)
y1
x1-n
+
y2
x2-n
=0
,y1(x2-n)+y2(x1-n)=0,(10分)
也就是y1(sy2+t-n)+y2(sy1+t-n)=0,2sy1y2+(t-n)(y1+y2)=0,
2s•
t2-4
s2+4
+(t-n)•
(-2ts)
s2+4
=0
,即只要(nt-4)s=0(12分)
n=
4
t
时,(*)对任意的s都成立,从而∠ANB总能被x轴平分.(13分)
所以在x轴上存在定点N(
4
t
,0)
,使得∠ANB总能被x轴平分.(14分)
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