Question

已知函数，。
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）>f（2-x₂）。

Answer 1

解：（1）∵
∴f'（x）=
令f'（x）=0，解得x=1

∴f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=。
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=，
则 F'（x）=
当x>1时，1-x＜0，2x>2
从而e²-e^2x＜0，
∴F'（x）>0，F（x）在（1，+∞）是增函数
∴F（x）>F（1）=，
故当x>1时，f（x）>g（x）。
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，
∴当x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁，x₂不可能在同一单调区间内
不妨设x₁＜1＜x₂，
由（2）的结论知x>1时，F（x）= f（x）-g（x）>0，
∴f（x₂）>g（x₂）
∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）>g（x₂）
又g（x₂）= f（2-x₂），
∴f（x₁）>f（2-x₂）。