Question

数列{a_n}中，数列{a_n•a_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范围；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项的和S_2n．

Answer 1

分析：（ I）由题意可知，a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，结合已知a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，代入等比数列的通项，可求q的范围
（ II）由数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，得，

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，则数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，结合等比数列的求和公式，需要对q=1和q≠1两种情况讨论，分别利用分组求和可求

解答：解：（ I）∵数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，
∴a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得a_na_n+1+a_na_n+1q＞a_na_n+1q²
∴1+q＞q²，即q²-q-1＜0（q＞0），
解得0＜q＜

1+ 5

2

．（4分）
（ II）由数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，
这表明数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，（8分）
又a₁=1，a₂=2，
∴当q≠1时，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1-qn)

1-q

+

a2(1-qn)

1-q

=

3(1-qn)

1-q

，（10分）
当q=1时，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用及分组求和方法的应用，而利用等比数列的求和公式进行求解时，一定要注意对公比q是否为1的考虑