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    已知双曲线-=1的左、右焦点为F1、F2，左准线为l，试问：能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？并说明理由.

    思路解析：解题方法相当于反证法，假设满足条件的点P存在，则由条件出发，或求出点P，或导出予盾，最后得出结论.双曲线左分支上的点P到左焦点F1的距离的最小值是c-a，到右焦点F2距离的最小值是c+a.

    解法一：如上图所示，假设双曲线左支上存在一点P（x0,y0），使得=成立.

    由第二定义，=e,∴|PF2|=e|PF1|.

    由焦半径公式,得e(-x0)=e·e(--x0),

    即a-ex0=e(-a-ex0)，解得x0=.

    ∵a=5,b=12,∴c=13,e=.代入计算得x0=-.

    ∵点P在双曲线的左支上，∴x0≤-a=-5.但-＞-5.

    ∴满足条件的点P不存在.

    解法二：由解法一得|PF2|=e|PF1|，                                              ①

    又由双曲线的定义，有|PF2|-|PF1|=2a.                                           ②

    消去|PF2|得|PF1|==.

    ∵P在双曲线的左支上，

    ∴|PF1|≥c-a=13-5=8.

    但是＜8,∴满足条件的点P不存在.

    解法三：由解法二中的①、②两式联立,解得|PF1|==,|PF2|==.

    ∴|PF1|+|PF2|=.

    但|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=26,

    ∵＜26,∴满足条件的点P不存在.


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