Question

设函数，，其中为实数.

(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；

(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）

      

      

  由题意：对恒成立

          即对恒成立

         

          在上有最小值

            时，恒成立，在无最值

            时，由题意

                            

             综上：的范围是：

     （2）在上是单调增函数

          对恒成立

          即对恒成立

         

          令，则

          则有的零点个数即为与图像交点的个数

          令

          则

          易知在上单调递增，在上单调递减

                   在时取到最大值

             当时，

             当时，

           图像如下

            

            

            所以由图可知：时，有1个零点

                          时，有2个零点

                           时，有1个零点

             综上所述：或时，有1个零点

                       时，有2个零点