Question

在平面直角坐标系xOy中，设AB是过椭圆

x2

4

+y2=1中心的弦，椭圆的左焦点为F，则△FAB面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB的方程为：ky=x，与椭圆方程联立化为（4+k²）y²=4，解得y=±

2

4+k2

．利用△FAB面积S=

1

2

|OF|•|y1-y2|即可得出．

解答： 解：设直线AB的方程为：ky=x，
联立

x=ky x2+4y2=4

，
化为（4+k²）y²=4，
解得y=±

2

4+k2

．
∴△FAB面积S=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|OF|•

4

4+k2

=

1

2

×

3

×

4

k2+4

≤

2 3

2

=

3

，
当k=0即AB为椭圆的短轴时，△FAB面积取得最大值

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立解得交点、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．