Question

如图所示，在正三棱锥A-BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为

 

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Answer 1

分析：设点A在面BCD内的射影为A′，由三棱锥A-BCD为正三棱锥，易得A′为△BCD中心，由线面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD，即∠ADB为直线BD与平面ACD所成角，解三角形ADB可得直线BD与平面ACD所成的角．

解答：解：设点A在面BCD内的射影为A′
∵三棱锥A-BCD为正三棱锥
∴AB=AD
△BCD为正三角形
A′为△BCD中心
∴CD⊥BA′，
∵AA′⊥面BCD
∴CD⊥AB，
∵E、F分别为BD、AD的中点
∴EF∥AB，
∵EF⊥CF，
∴AB⊥CF
又∵AB⊥CD，CD∩CF=C
∴AB⊥面ACD，
∴AB⊥AD
∠ADB即为直线BD与平面ACD所成角
又∵AB=AD，AB⊥AD，
∴∠ADB=45°
∴直线BD与平面ACD所成角为45°
故答案为：45°

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中求出∠ADB为直线BD与平面ACD所成角是解答的关键．