Question

求下列函数的定义域与值域
（1）；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由分母不为0，得自变量x的取值即为函数的定义域，再把函数f（x）的解析式化简，得到，求函数y的值域，可以先用y表示x，这样含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域．
（2）先由被开方数为非负数建立不等关系即可求出函数的定义域，利用 换元法：设logx=t，则y=，再结合二次函数的性质求出函数的值域．
解答：解：（1）由题意，函数式中分母不为0，且被开方数非负数，
∴，
∴x＞0且x≠1；
所以函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
由题函数可变为，
∴y（x-1）=x+1，
∴x（y-1）=y+1，
∴，
∴由于x＞0且x≠1，
，解得-1＜y＜1；所以函数的值域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由-（logx）²+logx+2≥0得-1≤logx≤2，
∴≤x≤4，
所以函数的定义域为[，4]，
设logx=t，则y==，
其中-1≤t≤2，
∴当t=时，y取得最大值；当t=-1或2时，y取得最小值0；
所以函数的值域为：[0，]．
点评：本题考查了指数函数，对数函数的定义域和值域的问题．对于不容易求值域的函数，通常先用y表示x，则含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域（反函数法）．