Question

16．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且对任意正整数n都有a_n²=S_2n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\{\frac{b_n}{{{a_{n-1}}}}\}$是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，a_n≠0．对任意正整数n都有a_n²=S_2n-1，可得${a}_{1}^{2}$=a₁，${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+d）^{2}$=S₃=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，解得a₁，d，即可得出．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n-1}}$=•3^n-1，可得b_n=（2n-3）•3^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，a_n≠0．
对任意正整数n都有a_n²=S_2n-1，∴${a}_{1}^{2}$=a₁，${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+d）^{2}$=S₃=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，
解得a₁=1，d=2，或-1（舍去）．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n-1}}$=•3^n-1，∴b_n=（2n-3）•3^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-1+3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1，
∴3T_n=-3+3²+3×3³+…+（2n-5）•3^n-1+（2n-3）•3ⁿ，
∴-2T_n=-1+2（3+3²+…+3^n-1）+（2n-3）•3ⁿ=-1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-3）•3ⁿ，
∴T_n=2+（n-2）•3ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．