Question

（不等式选讲选做题）x、y＞0，x+y=1，则(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先将式子展开，利用完全平方公式将x²+y²用（x+y）²表示，将x+y用1代替；令xy=t；将函数转化为只含t的函数；利用基本不等式求出t的范围；利用函数的单调性求出最小值．

解答：解：(x+

1

x

)(y+

1

y

)=xy+

x

y

+

y

x

+

1

xy

=

x2y2+x2+y2+1

xy

=

x2y2+(x+y)2-2xy+1

xy

=xy+

2

xy

-2
∵x+y=1
∴xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

令xy=t则0＜t≤

1

4

∴(x+

1

x

)(y+

1

y

)=t+

2

t

-2
∵t+

2

t

-2在(0，

1

，4

]递减
当t=

1

4

最小为

25

4

故答案为

25

4

点评：本题考查换元的数学思想方法：注意新变量的范围、考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．