Question

已知α、β都是锐角，cosα=

3

5

，cos(α+β)=-

5

13

，
（1）求sinα和tanα的值；
（2）求sin（α+β）和cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，利用平方关系易求sinα=

4

5

，从而可知tanα的值；
（2）利用两角和的正弦可求sin（α+β），利用两角差的余弦可求cosβ的值．

解答：解：（1）因为α，β都是锐角，cosα=

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

4 5

3 5

=

4

3

；
（2）∵α，β都是锐角，
∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＞0，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

，
cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=

3

5

×（-

5

13

）+

4

5

×

12

13

=

33

65

．

点评：本题考查两角和的正弦与两角差的余弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．