Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

2n

Sn

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解　（1）∵S_n²=a_n(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1•S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

；
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)•2n
因此，

Tn=1×2+3×22+5×23+…(2n-1)2n

两边都乘以2，得

2Tn= 1×22+3×23+…(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

两式相减，得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-

（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化简得

Tn=(2n-3)•2n+1+6

．