Question

已知直线l₁：x+my+6=0，l₂：（m-2）x+3y+2m=0，求m的值，使得：（1）l₁和l₂相交；（2）l₁⊥l₂；（3）l₁∥l₂；（4）l₁和l₂重合．

Answer 1

分析：（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．
（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于-1，解方程求出m的值．
（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值．
（4）先判断m≠0，再利用两直线重合，各项系数对应成比列，求出m的值．

解答：解：（1）当l₁和l₂相交时，1×3-（m-2）m≠0，
由1×3-（m-2）m=0，m²-2m-3=0，∴m=-1，或m=3，∴当m≠-1且m≠3时，l₁和l₂相交．
（2）l₁⊥l₂ 时，1×（m-2）+m×3=0，m=

1

2

．∴当m=

1

2

时，l₁⊥l₂．
（3）∵m=0时，l₁不平行l₂，∴l1∥l2?

m-2

1

=

3

m

≠

2m

6

，解得m=-1．
（4）∵m=0时，l₁与l₂不重合，∴l₁与l₂重合时，有

m-2

1

=

3

m

=

2m

6

，解得 m=3．

点评：本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．