Question

15．设f（x）是（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶展开式的中间项，若存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使f（x）≤mx成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{5}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{5}{4}$]
• C． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• D． [$\frac{5}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 由条件利用二项式展开式的通项公式求得f（x）=$\frac{5}{2}$x³．由于存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x² 成立，可得m大于或等于$\frac{5}{2}$x² 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]上的最小值．

解答 解：（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶的展开式共有7项，∴中间项为第4项，
∵（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶展开式的通项为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（x²）^6-r•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令r=3得 T₄=$\frac{1}{8}$•${C}_{6}^{3}$•x³=$\frac{5}{2}$x³，∴f（x）=$\frac{5}{2}$x³．
∵存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使f（x）≤mx成立，
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使$\frac{5}{2}$x³≤mx成立，
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x² 成立，
∴m大于或等于$\frac{5}{2}$x² 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]上的最小值．
当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\frac{5}{2}$x² 有最小值$\frac{5}{4}$，∴m≥$\frac{5}{4}$，
故选项：D．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．