Question

（文）已知函数．
（1）若函数在x=1时取得极小值，求实数a的值；
（2）当时，求证：f（x）在（-1，1）内是减函数．

Answer 1

解：（1）∵，
∴f'（x）=2x²-2ax-3
由…（4分）
又，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以在f（x）在x=1时取得极小值，所以；
证明：（2）f'（x）=2x²-2ax-3是x的二次函数，
且对称轴方程 ，∵，，∴-1＜2a＜1．
∴．…（8分）
∴f'（1）=2-2a-3=-2a-1＜0，f'（-1）=2+2a-3=2a-1＜0．…（10分）
∴f'（x）在（-1，1）内恒有f'（x）＜0．
∴f（x）在（-1，1）内是减函数． …（12分）
分析：（1）通过求函数的导数，函数f（x）在x=1处取得极值，就是x=1时导数为0，求出a，利用极小值，验证求出a，可得f（x）的解析式；
（2）要证：f（x）在（-1，1）内是减函数，只须证在（-1，1）内恒有f'（x）＜0，利用二次函数的性质即可以得证．
点评：本题考查待定系数法求函数解析式，函数恒成立问题，利用导数研究函数的极值，是中档题．