Question

已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）

解法1：（1）不妨设A，B，且，　 ∵，∴．

∴，．…………………4分

∵（），即，

∴，即的取值范围为．…………………6分

（2）当时，由（1）求得.的坐标分别为.．

假设抛物线上存在点（且），…………8分

使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．

设经过..三点的圆的方程为，

则

整理得 ．　　　 ①…………9分

∵函数的导数为，

∴抛物线在点处的切线的斜率为，

∴经过..三点的圆在点处的切线　斜率为．………10分

∵，∴直线的斜率存在．

∵圆心的坐标为，

∴，

即．　　　 ②…………………12分

∵，由①.②消去，得．

即．

∵，∴．

故满足题设的点存在，其坐标为．…………………14分

解法2：（1）设，两点的坐标为，且。

∵，可得为的中点，

即．…………………2分

显然直线与轴不垂直，

设直线的方程为，　 即，…………………3分

将代入中，

得． …………………4分

∴ ∴．

故的取值范围为．　　 …………………6分

（2）当时，由（1）求得，的坐标分别为． 　

假设抛物线上存在点（且），

使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．

设圆的圆心坐标为，

∵　

∴　 即　　　 　　　 …………………8分

解得　 …………………10分

∵抛物线在点处切线的斜率为，

而，且该切线与垂直，∴．　

即． …………………12分

将，代入上式，

得．

即．　 ∵且，∴．

故满足题设的点存在，其坐标为 ． …………………14分