Question

已知抛物线C的一个焦点为F(

1

2

，0)，其准线方程为x=-

1

2

（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线C的一个焦点为F(

1

2

，0)，其准线方程为x=-

1

2

，可得抛物线C的方程为y²=2x；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），根据韦达定理，及三角形的重心坐标公式，即可求出△AOB重心G的轨迹方程；②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也适合y²=

2

3

x-

2

9

，故可得轨迹C的方程．

解答：解：（1）∵抛物线C的一个焦点为F(

1

2

，0)，其准线方程为x=-

1

2

∴抛物线C的方程为y²=2x；
（2）抛物线的焦点坐标为（

1

2

，0），
①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，
得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．
设l方程与抛物线相交于两点，∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根据韦达定理，有x₁+x₂=

k+2

k

，从而y₁+y₂=k（x₁+x₂-1）=

2

k

．
设△AOB的重心为G（x，y），则x=

0+x1+x2

3

=

k2+2

3k

，y=

0+y1+y2

3

=

2

3k

，
∴y²=

2

3

x-

2

9

．
②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也适合y²=

2

3

x-

2

9

，
因此所求轨迹C的方程为y²=

2

3

x-

2

9

．

点评：本题重点考查抛物线的方程，考查抛物线的性质，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与抛物线联立，利用韦达定理解决．