Question

（2013•武汉模拟）过椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为8，椭圆的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且

OP

⊥

OQ

？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b²=a²-c²求得b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由

OP

⊥

OQ

得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得

4a=8 c a = 3 3

，解得：

a=2 c= 3

，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
故椭圆Γ的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x²+y²=r²（0＜r＜1）．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
x1+x2=-

8kt

1+4k2

，x1x2=

4t2-4

1+4k2

，①
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．     ②
将①代入②，得

(1+k2)(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=0，
即t²=

4

5

（1+k²）．
∵直线PQ与圆x²+y²=r²相切，
∴r=

|t|

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

2 5

5

∈（0，1），
∴存在圆x²+y²=

4

5

满足条件．
当直线PQ的斜率不存在时，易得x12=x22=

4

5

，
代入椭圆Γ的方程，得y12=y22=

4

5

，满足

OP

⊥

OQ

．
综上所述，存在圆心在原点的圆x²+y²=

4

5

满足条件．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．