Question

（21）已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂＝a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A _n－2A _n－1的中点，….

 

（Ⅰ）写出x_n与x _n－1、x _n－2之间的关系式（n≥3）；

 

（Ⅱ）设a_n＝x _n＋1－x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列｛a_n｝的通项公式，并加以证明；

 

（Ⅲ）求x_n.

Answer 1

（21）本题主要考查直线与椭圆等基础知识，考查综合运用数学知识和方法分析解决问题的能力.

（Ⅰ）解：当n≥3时，x_n＝.

（Ⅱ）解：a₁＝x₂－x₁＝a，

 

a₂＝x₃－x₂＝－x₂＝－（x₂－x₁）＝－a，

 

a₃＝x₄－x₃＝－x₃＝－（x₃－x₂）＝－（－a）＝（a）

 

由此推测a_n＝（－）^n－1a（n∈N）.

证法一：

因为a₁＝a＞0，且

 

a_n＝x_n＋1－x_n＝－x_n

 

＝＝－（x_n－x_n－1）＝－a_n－1（n≥2），

 

所以a_n＝（－）^n－1（a）

证法二：

用数学归纳法证明：

（i）当n=1时，a₁=x_2－x₁=a=（）⁰a，公式成立.

 

（ii）假设当n=k时，公式成立，即a_k=()^k－1a成立.

那么当n＝k＋1时，

 

a_k＋1＝x_k＋2－x_k＋1＝－x_k＋1＝－（x_k＋1－x_k）

 

＝－a_k＝－（－）^k－1a＝（－）^{（k＋1）－1}a，公式仍成立.

 

根据（i）与（ii）可知，对任意n∈N，公式a_n＝（－）^n－1a成立.

（Ⅲ）解：当n≥3时，有

 

x_n＝（x_n－x_n－1）＋（x_n－1－x_n－2）＋…＋（x₂－x₁）＋x₁

 

＝a_n－1＋a_n－2＋…＋a₁，

 

由（Ⅱ）知｛a_n｝是公比为－的等比数列，

 

 

所以x_n＝（a）.