Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接借助于降幂公式和二倍角公式进行化简，然后结合辅助角公式进行求解即可；
（2）利用三角函数的单调性进行求解．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

6

）+1=2sin

5π

6

+1=2×

1

2

+1=2；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴当2x+

π

6

=-

π

6

时，f（x）的最小值为0；
当2x+

π

6

=

π

2

，时f（x）的最大值为3；
∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域为[0，3]．

点评：本题重点考查了二倍角公式的灵活运用以及三角函数的单调性等，属于基础题．