Question

若数列{a_n}满足前n项之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求证数列{

bn

2n

}为等差数列；  （2）求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4可求a₁=4，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4即a_n=2a_n-1，可得a_n，代入已知递推公式可证
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，考虑利用错位相减可求T_n

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4
∴a₁=4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4
即a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2
∴a_n=2ⁿ⁺¹
b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1
又

b1

21

=1
∴

bn

2n

=1+(n-1)•1=n
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得  T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是构造等差及等比数列进行求解，要注意对错位相减求解数列和的方法的掌握，这是数列求和中的重点和难点．