Question

（本小题共14分）

已知函数

（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求的单调区间；

（Ⅱ）设函数的最大值为，试证明不等式：

（Ⅲ）首先阅读材料：对于函数图像上的任意两点，如果在函数图象上存在点，使得在点M处的切线，则称AB存在“相依切线”特别地，当时，则称AB存在“中值相依切线”。请问在函数的图象上是否存在两点，使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1），

所以，的增区间为，减区间为。

（2），即证

令，则

所以，是上的减函数，，即，证毕。

（3）假设函数的图象上存在两点，使得存在“中值相依切线”，则

，

又得

，

令，则，此式表示有大于1的实数根。

令，则，所以是的增函数。

所以与有大于1的实数根相矛盾，所以函数的图象上不存在两点，使得存在“中值相依切线”。