Question

已知焦点（设为F₁，F₂）在x轴上的双曲线上有一点P（x₀，

3

2

），直线y=

3

x线的一条渐近线，当

FP1

•

PF2

=0，双曲线的一个顶点坐标是（　　）

• A、（

  2

  ，0）
• B、（

  3

  ，0）
• C、（2，0）
• D、（1，0）

Answer 1

分析：首先由直线y=

3

x是渐近线得出b²=3a²，再将p点坐标代入椭圆方程得出x₀²=

4a2-3

4

，然后根据

FP1

•

PF2

=0?PF₁⊥PF₂，进而得到|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²  并利用c²=a²+b²，求出a即可．

解答：解：∵双曲线在x轴上，直线y=

3

x是渐近线
∴

b

a

=

3

 即b²=3a²
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1  F₁（-C，0）F₂（C，0）
把P（x₀，

3

2

）代入方程整理得x₀²=

4a2+3

4

∵

FP1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² 即（x₀+c）²+

9

4

+（x⁰-c）²+

9

4

=4c²
整理得a²-c²=-6
∵c²=a²+b²=4a²
∴-3a²=-3
∴a=1
故选D．

点评：本题考查了双曲线的简单性质，根据

FP1

•

PF2

=0?PF₁⊥PF₂，?PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，是解题的关键，属于中档题．