Question

如图，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°.

(1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上；

(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.

Answer 1

证明：(1)取VC的中点M,∵VA⊥底面ABC,∠ABC=90°,∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，

∴MB=MC=MV. 同理,在Rt△VAC中,MA=MV=MC.

∴MV=MC=MA=MB.

∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.

(2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC,QP∥VA,NP∥BC,∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.