Question

底面是正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CC₁的中点，O是AC、BD的交点．
（1）求证：AC₁∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面ACC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图所示，连接OE．正方形ABCD中，O是AC的中点，又已知E是线段CC₁的中点，由三角形的中位线定理即可证明结论．
（2）根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，从图中观察看出应证明BD⊥平面ACC₁即可．
解答：证明：（1）如图所示，连接OE．正方形ABCD中，AC⊥BD，O是AC的中点．
∵E是线段CC₁的中点，∴在△ACC₁中，由三角形的中位线定理得OE∥AC₁．
∵EO?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（2）∵侧棱AA₁⊥底面ABCD，且CC₁∥AA₁．
∴AA₁⊥BD，
∵BD⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁．
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC₁．
点评：本题考查了线面平行和面面垂直，充分理解和掌握其定理是解题的关键．