Question

已知一个数列{a_n}的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前n项的和为S_n．参考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）试问第10个1为该数列的第几项？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整数m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，得到前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．由此能求出第10个1为该数列的第几项．
（II）由44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，知第2012项在第45对中的第32个数，由此能求出a₂₀₁₂和S₂₀₁₂．
（III）由前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，能推导出S₉₉₃=1954且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，由此得到存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．

解答：解：（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，
即（1，2）为第1对，共1+1=2项；（1，2，2，2）为第2对，共1+3=4项；…；
(1，

2，2，2，…2)

共2k-1个2

为第k对，共1+（2k-1）=2k项；
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．
第10个1所在的项之前共有9对，所以10个1为该数列的
9×（9+1）+1=91（项）．…（6分）
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而a₂₀₁₂=2
又前2012项中共有45个1，其余2012-45=1967个数均为2，
于是S₂₀₁₂=45×1+1967×2=3979…（10分）
（III）∵前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，
∴S31×32=S992=2×312+31=1953，
S32×33=S1056=2×322+32=2080，
即S₉₉₃=1954且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．…（14分）

点评：本题考查数列知识的综合运用，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．