Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2C=$\sqrt{3}$sinC，若（$\sqrt{3}$-1）ab=25-c²，则△ABC的面积最大值为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用二倍角的正弦函数公式及sinC≠0，可求cosC，解得C，由余弦定理及已知可解得a²+b²-$\sqrt{3}$ab=25-（$\sqrt{3}$-1）ab，利用基本不等式可求ab的最大值，利用三角形面积公式即可求解．

解答 解：∵sin2C=2sinCcosC=$\sqrt{3}$sinC，C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：C=$\frac{π}{6}$，
∵（$\sqrt{3}$-1）ab=25-c²，
又∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{3}$ab，
∴a²+b²-$\sqrt{3}$ab=25-（$\sqrt{3}$-1）ab，整理可得：25=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，（当且仅当a=b时等号成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$ab≤$\frac{25}{4}$．
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．