Question

已知数列{a_n}：满足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，记b_n=．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）证明：a₁+a₂+…a_n＞2n+．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由a_n+1=得，a_n+1-2=-2= ①，
a_n+1+1=+1=②（2分）
∴得：=•，即b_n+1=b_n，且b₁==，
∴数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=•==
∴a_n=，
由a_n≤t•4ⁿ得t≥=（6分）
∵是关于n的减函数，
∴≤=，
∴t≥（9分）
（Ⅲ）∵a_n==2+＞2+，（11分）
∴a₁+a₂+…+a_n＞（2+）+（2+）+…（2+）
=2n+（++…+）
=2n+•=2n+1-＞2n+．得证（14分）
分析：（Ⅰ）要证数列{b_n}是等比数列，需求得b_n+1=，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由b_n==可求得a_n=，结合条件a_n≤t•4ⁿ即可求得t的取值范围；
（Ⅲ）由a_n==2+＞2+，利用累加法即可证得结论．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定，恒成立问题的分析与应用，突出转化思想与放缩法、累加法的考查，属于难题．