Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）点C到平面PAD的距离．

Answer 1

分析：（1）建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，求出∴

DP

、

DA

、

CM

  的坐标，求出平面PAD的法向量

n

 的
坐标，因为

n

•

CM

=0，故 

n

⊥

CM

，又因为 CM不在平面PAD内，可得CM∥平面PAD． 
 （2）由上面得

BE

⊥平面PAD，故

BE

 是平面PAD的法向量，可得平面PAD的单位法向量

n0

=

BE

| BE |

 的坐标，
由点C到平面PAD的距离为 d=|

n0

•

CD

|求出点C到平面PAD的距离．

解答：解：以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．
∵PC=2，∴BC=2

3

，PB=4，∴D（0，1，0），B （2

3

，0，0），A（2

3

，4，0），P（0，0，2），
M（

3

2

，0

3

2

 ）．∴

DP

=（0，-1，2），

DA

=（2

3

，3，0），

CM

=（

3

2

，0，

3

2

  ）． 
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，1），由

n

•

DP

=0，且

n

•

DA

=0 可得 x=-

3

，y=2，
∴

n

=（-

3

，2，1）．  又因为

n

•

CM

=（-

3

，2，1）•（

3

2

，0，

3

2

  ）=0，
∴

n

⊥

CM

，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．
取AP的中点E，则 E（

3

，2，1），

BE

=（-

3

，2，1）因为PB=AB，∴

BE

⊥

AP

．
又因为

BE

•

DA

=（-

3

，2，1）•（2

3

，3，0）=0，∴

BE

⊥

DA

，∴

BE

⊥平面PAD；
∴BE平面PAD，又因为 BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）由上面得

BE

⊥平面PAD，∴

BE

 是平面PAD的法向量，
∴平面PAD的单位法向量为

n0

=

BE

| BE |

=

(-3 ，2，1)

2 2

，又因为

CD

=（0，1，0），
∴点C到平面PAD的距离为 d=|

n0

•

CD

|=|

(-3 ，2，1)

2 2

•（0，1，0）|=

2

2

．

点评：本题考查用向量证明线面平行和线面垂直，利用向量求点到平面的距离，准确求出各个点，和有关向量的坐标，
是阶梯的关键和难点．