Question

如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图像上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);
(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.

Answer 1

(1) f(t)=－3t²+2mt,t∈(0,1) (2) S_max=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3)

(1)依题意，设B(t, t),A(－t,t)(t>0),C(x₀,y₀).
∵M是BC的中点 ∴=1, =m.
∴x₀=2－t,y₀=2m－t. 
在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高h_AB=y₀－t=2m－3t.
∴S=|AB|·h_AB=·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t²+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=－3t²+2mt=－3(t－)²+,t∈(0,1,若，
即＜m≤3,
当t=时，S_max=,相应的C点坐标是(2－,m),
若>1,即m>3 S=f(t)在区间(0，1］上是增函数，
∴S_max=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).