Question

一栋n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取（　　）

• A．

  1

  2

  n
• B．n为奇数时，k=

  1

  2

  （n+1），n为偶数时k=

  1

  2

  n或

  1

  2

  n+1
• C．

  1

  2

  （n+1）
• D．n为奇数时，k=

  1

  2

  （n-1），n为偶数时k=

  1

  2

  n

Answer 1

分析：设每走一层楼梯的路程为a，则n位开会人员上下楼梯所走路程总和S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]，利用等差数列求和公式化简整理，得S=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]，最后结合二次函数的图象与性质，讨论可得正确答案．

解答：解：设每走一层楼梯的路程为a，n位开会人员上下楼梯所走路程总和为S，则
S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]
=a•

(k-1)•k

2

+a•

(n-k)•(n-k+1)

2

=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]
∵二次函数F（k）=k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)图象关于直线k=

n+1

2

对称，（k∈Z）
∴当n为奇数时，k=

n+1

2

时，S达最小；当n为偶数时，取k=

n

2

，或k=

n

2

+1时，S达最大．
故选B

点评：本题以一个实际问题为例，求走楼梯的路程总和最短时相应的k值，着重考查了等差数列的求和公式、二次函数的图象与性质和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．