Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC.

（1）试确定E点位置；

（2）若异面直线PE、CD所成的角为60°，并且PA的长度大于a，

求证：平面PEC⊥平面AECD.

Answer 1

(1) E为AB的中点(2)证明略

解析:

（1）  E为AB的中点.

证明如下:取PC的中点G，连接GE，GF.

由条件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.

则G、E、A、F四点共面.

∵AF∥平面PEC，

平面GEAF∩平面PEC=GE，

∴FA∥GE.

则四边形GEAF为平行四边形.

∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.

即E为AB的中点.

（2）  ∵EA∥CD，PE、CD所成的角为60°，且PA的长度大于a.

∴∠PEA=120°.

∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.

取CE的中点M，连接PM，AM，BM，在△AEM中，      

AM==a.

∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².

则∠PMA=90°，PM⊥AM.

∵PM⊥EC，EC∩AM=M，

∴PM⊥平面AECD.

∵PM平面PEC，

∴平面PEC⊥平面AECD.