Question

如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E．已知BC=CD=2

3

，AE=2EC，∠CBD=30°，则∠CAB=

 

，AC的长是

 

．

Answer 1

分析：根据相同的弦对应相同的弧和同弧所对的圆周角相等，得到∠CAB=30°，根据两个三角形有两对角对应相等，得到两个三角形相似，根据对应边成比例得到BE=2EC，利用余弦定理做出CE的长度，得到结果．

解答：解：∵∠ACD=∠ABE，∠CDB=∠CAB，
∴△CDE∽△ABE，
∵AE=2EC，
∴BE=2ED，BE=

2

3

BD=

2

3

12+12-2×2 3 ×2 3 ×(- 1 2 )

=4
∵∠CBD=30°，BC=CD
∴∠CAB=30°，∠CDB=30°，
在△DEC中，CE2=16+12-2×4×2

3

×

3

2

=4，
∴CE=2，
∴AC=6，
故答案为：30°；6．

点评：本题是一个比较简单的综合题目，在解题时，注意同弧所对的圆周角相等的重复使用，还有一个用的不是很多的结论即在同一个圆中，等弦对等弧