Question

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F(

3

，0)，一条渐近线m：x+

2

y=0，设过点A（-3

2

，0）的直线l的方向向量e=（1，k），
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为

6

，求k的值；
（3）证明：当k＞

2

2

时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为

6

．

Answer 1

分析：（1）由焦点坐标渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值．
（2）先写出2条平行线的方程，应用2条平行线间的距离公式求k的值，
（3）设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于此点到直线b：kx-y=0的距离，求得直线l和直线b的距离d＞

6

，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为

6

．

解答：（1）解：由题意知，c=

3

，

b

a

=

2

2

，再由c²=a²+b²，a=

2

，b=1，∴双曲线方程为：

x2

2

-y²=1．
（2）解：直线l的方程y-0=k（x+3

2

），即 kx-y+3

2

k=0．∵过原点的直线a∥l，∴直线a方程为：kx-y=0，
两平行线间的距离

|3 2k |

1+k2

=

6

，∴k=±

2

2

．
（3）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，
则直线l与b的距离d=

3 2 |k|

1+k2

，当k＞

2

2

时，d＞

6

． 又双曲线C的渐近线为x±

2

y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于

6

，
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为

6

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，是一道中档题．