Question

过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，l与抛物线的一个交点为A，与抛物线的准线交于点B，且

AF

=

FB

．
（1）求抛物线的准线被以AB为直径的圆所截得的弦长；
（2）平行于AB的直线与抛物线交于C，D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为-4，求直CD线在y轴上截距的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）如图所示，由于

AF

=

FB

，可得F点为线段AB的中点．设以AB为直径的圆与准线相较于另外一点H，则AH⊥准线，可得AH=AF=

1

2

AB．因此∠AFx=∠BAH=60°．于是直线AB的方程为：y=

3

(x-1)．联立

y= 3 (x-1) y2=4x

，可解得x₁=3，x2=

1

3

．可得|AF|=x1+

p

2

，即可得到|BH|=|AB|sin60°．
（II）设直线CD的方程为：y=

3

x+m，P(

y 2 0

4

，y0)，C(

y 2 1

4

，y1)，D(

y 2 2

4

，y2)．与抛物线的方程联立可得

3

y2-4y+4m=0，由于△＞0，解得m＜

3

3

．可得根与系数的关系，利用k_PC•k_PD=-4与斜率计算公式可得

16

(y1+y0)(y2+y0)

=-4，化为m=-

3

4

(y0+

2

3

)2+

4 3

3

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，F（1，0）．
∵

AF

=

FB

，
∴F点为线段AB的中点．
设以AB为直径的圆与准线相较于另外一点H，则AH⊥准线，
∴AH=AF=

1

2

AB．
∴∠AFx=∠BAH=60°．
∴直线AB的方程为：y=

3

(x-1)．
联立

y= 3 (x-1) y2=4x

，化为3x²-10x+3=0，
解得x₁=3，x2=

1

3

．
∴|AF|=3+1=4，∴|AB|=8．
∴|BH|=|AB|sin60°=4

3

．
∴抛物线的准线被以AB为直径的圆所截得的弦长|BH|=4

3

．
（II）设直线CD的方程为：y=

3

x+m，P(

y 2 0

4

，y0)，C(

y 2 1

4

，y1)，D(

y 2 2

4

，y2)．
联立

y= 3 x+m y2=4x

，化为

3

y2-4y+4m=0，
∵△=16-16

3

m＞0，解得m＜

3

3

．
∴y₁+y₂=

4

3

，y1y2=

4m

3

．
∵kPC=

y1-y0

y 2 1 4 - y 2 0 4

=

4

y1+y0

，同理可得kPD=

4

y2+y0

．
k_PC•k_PD=-4，
∴

16

(y1+y0)(y2+y0)

=-4，
化为y₁y₂+y₀（y₁+y₂）+

y

2 0

+4=0．
∴

4m

3

+

4y0

3

+

y

2 0

+4=0，
化为m=-

3

4

(y0+

2

3

)2-

2 3

3

，
∴当y₀=-

2 3

3

时，m取得最大值-

2 3

3

＜

3

3

．
∴直CD线在y轴上截距的最大值是-

2 3

3

．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、圆的性质、直角三角形的边角关系、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．