Question

已知函数（a≠0，x≠0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（3）若关于t（t≠0）的方程有实数解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂，证明其结果＞0即可；
（2）由奇函数的性质可得 ，解之可得；
（3）可得，令 m=t²，问题等价于关于m的方程 有正数解．构造函数，只需 ，解之可得．
解答：（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（）-（）==  …（1分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数             …（5分）
（2）可得…（6分）
∴，又因为F（-x）为奇函数，
所以 …（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由得：，令 m=t²，（m＞0）…（12分）
所以本题等价于关于m的方程 有正数解．   …（14分）
令，其对称轴为 ，
∴F（m）在区间为增函数，
所以有 ，解得0＜a＜1…（16分）
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的奇偶性的判断，属基础题．