Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个内切球O，则过棱AA₁和BC的中点P、Q的直线与球面交点为M、N，则M、N两点间的球面距离为（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、arccos

  2 3

  3

• D、arccos(-

  1

  6

  )

Answer 1

分析：欲求M、N两点间的球面距离，关键是求出球心角∠MON，故只须求出弦MN的长，也就是要求出球心到直线MN的距离即可，为了求出球心距，利用三角形POQ求解即可．

解答：解：易知△OPQ为等腰三角形，|OP|=|OQ|=

2

，
可求得O到PQ的距离为d=

( 2 )2-( 6 2 )2

=

1

2

，
PQ的直线被球面截在球内的线段的长为2

1-( 1 2 )2

=

2

，
所以∠MON=

π

2

，
M、N两点间的球面距离为

π

2

．
故选B．

点评：本题主要考查了球面距离及相关计算，以及空间想象力，属于基础题．