Question

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，

求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

Answer 1

解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意    ， 

所求椭圆方程为．

（2）设，．

①当轴时，设方程为：，此时两点关于轴对称，

又以为直径的圆过原点，设代人椭圆方程得：

②当与轴不垂直时，

设直线的方程为．联立，

整理得，

，．

又。

由以为直径的圆过原点，则有。 即：  故满足：    得：  

所以=。又点到直线的距离为： 。

综上所述：点到直线的距离为定值。