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某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润f(x)=
1(1≤x≤20,x∈N*)
1
10
x(21≤x≤60,x∈N*)
(单位:万元),为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第x个月的当月利润率g(x)=
第x个月的利润
第x个月前的资金总和
,例如:g(3)=
f(3)
81+f(1)+f(2)

(1)求g(10);
(2)求第x个月的当月利润率g(x);
(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
分析:(1)当1≤x≤20时,f(x)=1,易知f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=f(10)=1,从而知g(10)=
f(10)
81+f(1)+f(2)+…+f(9)
1
90

(2)求第x个月的当月利润率,要考虑1≤x≤20,21≤x≤60时f(x)的值,代入g(x)=
第x个月的利润
第x个月前的资金总和
即可.
(3)求那个月的当月利润率最大时,由(2)得出的分段函数,利用函数的单调性,基本不等式a+b≥2
ab
(a>0,b>0,且a=b时取“=“)
可得,解答如下:
解答:解:(1)由题意得:f(1)=f(2)=f(3)=…═f(9)=f(10)=1
g(x)=
f(10)
81+f(1)+…+f(9)
=
1
81+1+…+1
=
1
90

(2)当1≤x≤20时,f(1)=f(2)═f(x-1)=f(x)=1
∴g(x)=
f(x)
81+f(1)+…+f(x-1)
=
1
81+1+…+1
=
1
81+(x-1)
=
1
x+80

当21≤x≤60时,
g(x)=
f(x)
81+f(1)+…+f(20)+f(21)+…+f(x-1)

=
1
10
x
81+1+…+1+f(21)+…f(x-1)

=
1
10
x
81+20+
21
10
+…+
x-1
10

=
1
10
x
101+
1
2
(
21
10
+
x-1
10
)(x-21)

=
1
10
x
101+
(x-21)(x+20)
20
=
2x
x2-x+1600

∴当第x个月的当月利润率
g(x)=
1
x+80
(1≤x≤20,x∈N*)
2x
x2-x+1600
(21≤x≤60,x∈N*)

(3)当1≤x≤20时,g(x)=
1
x+80
是减函数,
此时g(x)的最大值为g(1)=
1
81

当21≤x≤60时,
g(x)=
2x
x2-x+1600
=
2
x+
1600
x
-1
2
2
1600
-1
=
2
79

当且仅当x=
1600
x
时,即x=40时,
g(x)max=
2
79
,又∵
2
79
1
81

∴当x=40时,g(x)max=
2
79

所以,该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,最大值为
2
79
点评:本题是分段函数的应用题,借助分段函数考查反函数的单调性,基本不等式的应用,求分段函数的最值,综合性强,难度适中,值得学习.
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(Ⅰ); (Ⅱ)求第个月的当月利润率

(Ⅲ)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

 

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为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,即第x个月的当月利润率例如:

(1)求

(2)求第个月的当月利润率

(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率。

 

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(I)求第个月的当月利润率的表达式;

(II)该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

 

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(1)求; 

(2)求第个月的当月利润率

(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

 

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