Question

4．已知函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$（f（x）≠0）．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）若f（1）=-5，求f（f（5））的值．

Answer 1

分析 （1）分析f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$的特点，可知f（x+2+2）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），得出结论；
（2）由f（1）=-5，利用周期性和条件可得f（5）=f（1+4）=f（1）=-5，f（1）=-$\frac{1}{f（-1）}$，进而求出f（f（5））=f（-5）=f（-1-4）=f（-1）=$\frac{1}{5}$．

解答 证明：（1）f（x+2+2）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x）．
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数；
（2）f（1）=-5，
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=-5，f（1）=-$\frac{1}{f（-1）}$，
∴f（f（5））=f（-5）=f（-1-4）=f（-1）=$\frac{1}{5}$．

点评 考查了周期函数的判断和利用周期函数的性质和条件解决实际问题，应熟记题型特点．