Question

（理）由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₁；满足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₂，试写出V₁与V₂的一个关系式V₁：V₂=

 

．

Answer 1

分析：由于旋转体的体积为V₁由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，
而旋转体的体积为V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积分割法可以求得V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，进而可得关系式V₁：V₂．

解答：解：因为旋转体的体积为V₁由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它旋转之后应该构成的是一个圆柱内减去两个体积全等的圆锥的体积，即：利用体积的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，又旋转体的体积为V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，即：V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，所以可得关系式V₁：V₂=4：3．
故答案为：4：3．

点评：此题考查了球体的体积公式，圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．