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一个公差不为零的等差数列{an}共有100项,首项为5,其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.记{an}各项和的值为S.
(1)求S (用数字作答);
(2)若{bn}的末项不大于
S2
,求{bn}项数的最大值N;
(3)记数列{cn},cn=anbn(n∈N*,n≤100).求数列{cn}的前n项的和Tn
分析:(1)设{an}的公差为d(d≠0),由已知可得(5+3d)2=5(5+15d),从而可求d,an,及S
(2)由已知可求等比数列的公比q及通项公式,而bn
S
2
?2n≤5050
,可求n的最大值.再由又bn+1>bn,可得b1b2<…b12
S
2
,n≥13时bn
S
2
,可求N
(3)由(1)(2)可求Cn,然后考虑利用错位相减进行求和即可
解答:解:(1)设{an}的公差为d(d≠0),
由b1,b3,b5成等比数列,得b32=b1b5 
即(5+3d)2=5(5+15d)⇒d=5.
所以an=5n (n∈N*,n≤100 )
S=5•100+
100•99
2
5=25250
 (6分)
(2)由b1=5,b3=20⇒q2=4(q>0),
所以q=2,bn=5•2n-1 
bn
S
2
?2n≤5050

所以n的最大值为12.又bn+1>bn
所以b1b2<…b12
S
2
,n≥13时bn
S
2
,所以N=12.(12分)
(3)cn=25n•2n-1
Tn=25(1+2•2+3• 22+…+n•2n-1)
2Tn=25[2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n

两式相减得-Tn=25(1+2+•22+…+2n-1-n•2n)=25[(1-n)2n-1]
Tn=25[(n-1)2n+1](n∈N*,n≤100)(16分)
点评:本题综合考查了等差数列与等比数列的性质的综合应用,这是高考在数列部分的考查重点试题类型,而数列中求解最大(小)项的方法长结合数列的单调性进行处理.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:设计必修五数学北师版 北师版 题型:013

一个等差派生数列的单调性各项都为正数且公差不为零的等差数列a1,a2,a3,…,an,把离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列,则该数列是

[  ]
A.

递减数列

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递增数列

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