Question

已知向量，
（1）求的最大值．
（2）若不等式对恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）=coscos-sinsin=cos2x=2cos²x-1，
||²=²+2+²=1+2cos2x+1=2+2（2cos²x-1）=4cos²x，，cosx＞0，
||=2cosx．
=cosx-，令t=cosx，则y=t-，在t∈[，1]上是增函数，当t=1时，y取得最大值．
（2）若不等式即为
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，，，1+cos2x＞0，
∴λ≤=．令t=cosx，则g（t）=，g′（t）=--＜0，
∴g（t）在t∈[，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1．
分析：（1）利用三角函数公式、向量的坐标运算得出=cosx-，再令t=cosx，则y=t-，利用单调性求出最大值即可．
（2）将原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，将参数λ分离，得出λ≤．同样地利用换元法求出右边最小值，λ小于等于最小值即可．
点评：本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．